jump to navigation

Liczba która zawiera w sobie Wszechświat 03/20/2016

Posted by Mikołaj Morzy in Uncategorized.
trackback

piTydzień temu, 14 marca, na całym świecie obchodzono międzynarodowy Dzień Liczby PI. Niewiele osób zdaje sobie sprawę z tego, jak głęboką i niepokojącą tajemnicę kryje w sobie ta liczba.

W matematyce liczbą normalną nazywamy taką liczbę rzeczywistą, której nieskończona sekwencja cyfr zawiera jednostajny rozkład częstości występowania każdej cyfry, każdej pary cyfr, każdej trójki cyfr, itd. Innymi słowy, jeśli liczba jest normalna, to 1/10 cyfr w jej reprezentacji stanowią „0”, 1/10 cyfr stanowią „1”, …, ale także 1/100 par cyfr stanowi kombinacja „12”, 1/100 par cyfr stanowi kombinacja „13”, itd. Co więcej, normalność wymaga, aby rozkład częstości występowania cyfr był jednorodny niezależnie od przyjętego systemu liczbowego (dziesiętny, ósemkowy, binarny, szesnastkowy, …). Ideę liczb normalnych wprowadził Emil Borel na początku XX wieku. Co ciekawe, udowodnił on, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są normalne. Przykładami liczb normalnych są liczba Champernowna (konkatenacja kolejnych liczb naturalnych: 0.1234567891011121314…) czy liczba Copelanda-Erdosa (konkatenacja liczb pierwszych: 0.123571113171923…). Liczby, dla których znana jest procedura ich generowania, jak w poprzednich dwóch przykładach, nie stanowią jednak tak dużego wyzwania jak liczby, które „magicznie” pojawiają się w matematyce. Do dziś nie wiadomo, czy najsłynniejsze liczby, takie jak \sqrt{2}, \pi, e, czy ln(2) są normalne, choć większość matematyków skłania się do opinii, że liczby te są normalne.

Co jednak ma normalność do tajemnicy skrywającej się w liczbie \pi? Rozwinięcie dziesiętne \pi jest nieskończone i nie wydaje się mieć w sobie ukrytego żadnego wzorca, zatem cyfry pojawiające się w owym nieskończonym rozwinięciu zachowują się losowo. Nieskończony ciąg losowych liczb zawiera w sobie każdy skończony ciąg cyfr z prawdopodobieństwem równym 1. Powtórzmy to raz jeszcze: w rozwinięciu dziesiętnym liczby \pi pojawia się każdy możliwy skończony ciąg cyfr. Jeśli literom alfabetu przypiszesz kolejne liczby, to w rozwinięciu \pi odnajdziesz każde słowo, każde zdanie, każdą książkę którą kiedykolwiek napisano. Ale odnajdziesz więcej: odnajdziesz każdą książkę, której nigdy nie napisano, odnajdziesz imiona i daty urodzin wszystkich ludzi, którzy kiedykolwiek się urodzili, i tych, którzy nie mieli szczęścia pojawić się na świecie. Dla każdego człowieka który istniał lub nie istniał, odnajdziesz jego biografię. Odnajdziesz całą historię swojego życia, ale też wszystkie historie żyć, które Ci się nie przytrafiły. W tej niepozornej liczbie tkwi zapisany cały dzisiejszy internet, wszystkie jego strony, blogi, posty i wiadomości, wraz z wszystkimi możliwymi reprezentacjami tego internetu (np. całym internetem przetłumaczonym na język kaszubski). Kiedy następnym razem spojrzysz na liczbę \pi, zdobądź się na szacunek, bo liczba ta zawiera w sobie cały Wszechświat. O ile nauka jest poezją rzeczywistości, o tyle matematyka jest tej rzeczywistości magią.

Czy wiedza o tym, że \pi zawiera w sobie każdy możliwy tekst, może być użyteczna? W końcu gdzieś w \pi tkwią odpowiedzi na największe zagadki ludzkości. Szkopuł w tym, że cała ta wiedza jest kompletnie bezużyteczna. Po pierwsze, prawie całe rozwinięcie dziesiętne \pi zawiera śmieci, nie stanowiące żadnego składnego zdania. Po drugie, nie mamy pojęcia, która część jest śmieciem, a która nie – nie możemy tego wiedzieć bo rozwinięcie jest losowe. Wreszcie po trzecie, aby zlokalizować fragment rozwinięcia musimy podać jego pozycję, co wymaga użycia dokładnie tylu bitów co znalezienie samego fragmentu. Dochodzimy do zdumiewającego paradoksu, łańcuch znaków zawierający wszystkie możliwe informacje w rzeczywistości nie zawiera żadnych informacji. Dokładnie ten właśnie paradoks przepięknie pokazał J.L.Borges w swoim opowiadaniu The Library of Babel (dla leniwych streszczenie w Wikipedii).

Zawsze jednak z czystej ciekawości możesz sprawdzić, na której pozycji w liczbie \pi znajduje się Twoja data urodzenia w serwisie Find Your Pi Day. Moja jest na pozycji 573 855.

Komentarze»

1. cmos - 03/20/2016

O wiele lepszym przykładem z literatury byłby Lem i „Wyprawa szósta, czyli jak Trurl i Klapaucjusz demona drugiego rodzaju stworzyli, aby zbójcę Gębona pokonać”


Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s

%d bloggers like this: