jump to navigation

Zagadka 05/29/2009

Posted by Mikołaj Morzy in Uncategorized.
trackback

question markW trakcie semestru zadawałem studentom na przedmiocie „Eksploracja danych” zagadki, których celem miała być gimnastyka umysłowa. Ponieważ skończyliśmy już podstawowy cykl zajęć, skończyły się też zagadki, których rozwiązanie jest premiowane podwyższeniem oceny. Żeby jednak studenci nie wypadli z wprawy, mam zamiar raz na jakiś czas umieszczać tu zagadki, których rozwiązania możecie wpisywać w komentarzach. Zaczynamy od prostej łamigłówki arytmetycznej.

Rozważmy liczbę 135. Suma cyfr wynosi 1+3+5=9. A jeśli podwoimy liczbę, to mamy 2*135=270, 2+7+0=9. Rozważmy wszystkie liczby trzycyfrowe, jakie możemy utworzyć ze zbioru \{1,3,5\}:

  • 153, 1+5+3=9; 2*153=306, 3+0+6=9
  • 531, 5+3+1=9; 2*531=1062, 1+0+6+2=9

Okazuje się, że wszystkie kombinacje mają tę samą własność, a mianowicie, suma cyfr w oryginalnej liczbie jest taka sama, jak suma cyfr w podwojonej liczbie.

Pytanie: ile istnieje trzycyfrowych liczb zawierających co najmniej jedną cyfrę 1, które posiadają powyższą własność?

Komentarze»

1. maciej - 05/29/2009

19
Należy rozważyć wszystkie pary cyfr nieujemnych x, y takie, że x + y = 8, oraz x lub y musi być większe od 4 (inaczej przy pomnożeniu przez dwa będziemy mieli po prostu sumę cyfr równą 18).
Są to więc (0,8), (1,7), (2,6), (3,5).
Teraz wystarczy zsumować liczbę wszystkich trójelementowych permutacji.
Dla pierwszej pary 0 nie może być na początku, więc są tylko 4.
Dla drugiej pary mamy dwie jedynki, więc ustawienia siódemki są tylko 3.
Dla trzeciej i czwartej pary mamy po prostu 3!, czyli 6.
4 + 3 + 6 + 6 = 19
Jestem prawie pewien, że wykonałem to na około, ale mam nadzieję, że chociaż wynik jest poprawny:-)

Mikołaj Morzy - 05/29/2009

Niestety, odpowiedź jest niepoprawna. Dla uściślenia, mając daną liczbę 135, szybko można sprawdzić, że wszystkie kombinacje tych cyfr (135, 153, 315, 351, 513, 531) posiadają pożądaną cechę. Czyli już mamy 6 cyfr.

maciej - 05/29/2009

Niedokładnie wyjaśniłem swoją odpowiedź.
Do każdej z wymienionych par liczb należy oczywiście dodać element 1. Liczymy permutacje trójek elementów:
(0,1,8) – 4 (zero nie może być na początku)
(1,1,7) – 3!/2! = 3
(1,2,6) – 3! = 6
(1,3,5) – 3! = 6
Dlatego też wynik wynosi 19.

Mikołaj Morzy - 05/29/2009

OK, ale nadal Pana odpowiedź jest błędna. Są jeszcze inne liczby zawierające cyfrę 1 i posiadające interesującą nas własność.

2. Janek - 05/30/2009

Takich liczb trzycyfrowych jest 25

108, 117, 126, 135, 153,
162, 171, 180, 189, 198,
216, 261, 315, 351, 513,
531, 612, 621, 711, 801,
810, 819, 891, 918, 981

Mikołaj Morzy - 05/30/2009

Gratuluję, to poprawna odpowiedź.

3. Julia - 06/15/2009

Udało mi się znaleźć 28 takich kombinacji:
144, 414, 441,
135, 153, 513, 531, 351, 315
126, 162, 261, 216, 621, 612,
117, 711, 172
108, 180, 801, 810,
189, 198, 819, 891, 918, 981.

Mikołaj Morzy - 06/16/2009

Pierwsze trzy liczby są niepoprawne, pozostałe są poprawne. Faktycznie, istnieje tylko 25 liczb posiadających interesującą nas własność. Przykładowo, dla liczby 144: 1+4+4=9, 2*144=288, ale 2+8+8=19.

Julia - 06/16/2009

Jeśli dobrze liczę to 2*144=288,
a więc 2+8+8=18,
czyli 1+8=9
Tak więc 144, 414, 441 również posiadają pożądaną cechę.

Mikołaj Morzy - 06/16/2009

Tak by było, gdybyśmy w treści zagadki mówili o „sumie cyfr sumy cyfr podwojonej liczby”, ale mówimy o „sumie cyfr podwojonej liczby”. Więc obstaję przy swoim, 144, 414, 441 nie posiadają interesującej nas cechy.

4. Marek - 06/16/2009

Panie Mikołaju, ten pan ma na imię Julia😛
Jak widać kobiety także lubią takie łamigłówki🙂


Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s

%d bloggers like this: